Tài năng của Thái Quý còn được thể hiện ở những giải đấu cùng U23 Việt Nam như giành ngôi á quân U23 châu Á 2018 và huy chương Vàng SEA Games 2019. Tiền vệ quê Quảng Trị có màn ra mắt tuyển Việt Nam hôm 1/6 vừa qua khi được ra sân trong đội hình xuất phát ở trận giao hữu với Afghanistan trên SVĐ Thống Nhất (Việt Nam thắng 2-0).
Trong màu áo CLB Hà Nội, Thái Quý luôn là sự lựa chọn ưu tiên của cựu huấn luyện viên Chu Đình Nghiêm trong những lúc gặp khó khăn nhờ khả năng dứt điểm ngoài vòng cấm uy lực và chính xác. Mùa này, anh cũng thường xuyên được ra sân tại V-League và góp phần giúp đội chủ sân Hàng Đẫy đứng đầu bảng xếp hạng. Thái Quý là người ghi bàn duy nhất giúp Hà Nội đánh bại Viettel với tỷ số 1-0 ở trận đấu bù vòng 2 V-League 2022 hôm 4/4.